Глава 8 Элементы комбинаторики — понятия, примеры и методы PowerPoint PPT Presentation

Каждому любопытному ребёнку, будь то мальчик или девочка, встретиться с комбинаторными задачами уже на потом, либо уже во втором классе, в формате загадок с цифрами. Казалось бы, простые примеры сочетаний цифр и распределения их на шесть элементов, но именно количество способов размещения цифр в том или ином порядке открывают ребёнку вновь и вновь свои тайны, понятия комбинаторики.

Расписания учебных предметов, открытки с кодированными сообщениями, задачи по перебору комбинаций цифр вроде «у тебя шестерка — числом девять», и, конечно же, «Задачи на сочетания и перестановки». Каждый из нас, случайно или по условию задачи, становится дипломатом, который должен распределить номера комбинаторных уроков по каждой кассете с задачами. В итоге, чтобы не было пары уроков, по которым нужно задавать одни и те же вопросы, нужно знать количество элементов и перебирать варианты исходя из вероятности ответов уже на шестом переборе.

Так же, давайте представим, что к нам в класс приехала учительница по математике, которая предложила ученикам солдатиков провести эксперимент с уроками. Смотрим вот такую задачу: «В уроке одного детского сада детей организовывали в лотерею на выделение разных комбинаторнов: на мальчиков и на девочек. Какое наибольшее количество разных комбинаций они могли запланировать? Учительница, чтобы организовать эксперимент, нужно будет выяснить количество девочек и мальчиков в группе? Напишите способ временный выявить эту информацию». Эта задача на сочетания решила нашу девочку Катю, которая с вполне большой точностью привела нам ответ: класс состоит из шести мальчиков и пять мальчиков!

Число возможных комбинаций в данном случае вычисляется по формуле сочетания, то есть мы раскладываем по свойству коммутативности и ассоциативности в комбинацию отдельных комбинаторных элементов.

Простейшие комбинаторные задачи и их решение

В главе 8 книги «Элементы комбинаторики: понятия, примеры и методы» рассматриваются различные задачи из области комбинаторики. В этом разделе мы рассмотрим несколько простейших задач и представим их решение.

Задача 1: Количество возможных комбинаций

Какова вероятность того, что в лотереи, где есть 43 номера, для каждого билета будет выстроиться очередь ровно из 8 человек?

Решение: В каждой позиции очереди может находиться любой из 43 номеров. Так как все номера независимы и могут появляться случайно, для вычисления общего числа возможных комбинаций воспользуемся правилом умножения. Таким образом, общее число возможных комбинаций будет равно 43 в степени 8.

Задача 2: Расписание обучения

Екатерина составляет расписание обучения для каждого дня недели. У нее есть 6 предметов, и каждый предмет она может расположить в расписании в любой день. Какое общее число возможных расписаний обучения у Екатерины?

Решение: Для каждого предмета у Екатерины есть 7 возможных дней (включая выходные). По правилу умножения, общее число возможных расписаний будет равно 7 в степени 6.

Задача 3: Открытка и гвоздики

Иван хочет подарить девочке открытку с гвоздиками. У него есть 8 гвоздик двух типов: 4 гвоздика первого типа и 4 гвоздика второго типа. Иван хочет выстроить гвоздики на открытке в случайном порядке. Какое общее число возможных способов выстроить гвоздики на открытке?

Решение: Всего на открытке будет 8 гвоздик. Если каждый гвоздик пронумеровать от 1 до 8, то общее число возможных способов будет равно 8! (факториал числа 8). В данном случае гвоздики одного типа неотличимы друг от друга, поэтому мы должны разделить результат на 4! и 4! (факториалы чисел 4), чтобы исключить повторения.

Эти задачи, как примеры простейших комбинаторных задач, позволяют узнать основные принципы комбинаторики и научиться вычислять общее число комбинаций и вероятности на основе различных условий.

Перестановки: определение и примеры

Пример 1:

Есть шесть цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Сколько различных трехзначных чисел можно составить?

Решение: Для составления трехзначного числа у нас есть шесть вариантов выбора цифры для первой позиции, пять вариантов для второй позиции (поскольку использована уже одна цифра), и четыре варианта для третьей позиции. Следовательно, всего можно составить 6 * 5 * 4 = 120 различных трехзначных чисел.

Пример 2:

Иван, Екатерина и Надежда решили выстроить колонну из трех дипломатов. Сколькими способами они могут это сделать?

Решение: У нас есть три возможных варианта выбора человека для первой позиции, два варианта для второй позиции (поскольку один человек уже занял первую позицию) и один вариант для третьей позиции. Следовательно, всего можно выстроить колонну 3 * 2 * 1 = 6 способами.

Пример 3:

В лотерее участвуют 5 человек. Какова вероятность того, что трое из них выиграют призы?

Решение: Количество способов выбрать трех победителей из пяти участников равно количеству трехэлементных подмножеств множества из пяти элементов. Это выражается через числа сочетаний по формуле C(n, k). В данном случае n = 5 и k = 3. Таким образом, количество способов выбрать трех победителей составляет C(5, 3) = 10. Общее количество возможных исходов лотереи равно C(5, 5) = 1. Следовательно, вероятность выигрыша трех из пяти участников составляет 10 / 1 = 10.

Таким образом, перестановки являются мощным инструментом комбинаторики для решения различных задач. Они позволяют определить количество возможных вариантов упорядоченного расположения элементов и вычислить вероятности событий.

Принцип умножения и его применение в комбинаторных задачах

Один из примеров, где применяется принцип умножения, это задача о билетах. Представьте, что у нас есть 3 разных билета, и каждый билет можно выбрать только один раз. Сколько возможных сочетаний получится, если каждому мальчику и девочке нужно подарить по одному билету? В данном случае, принцип умножения применяется для нахождения количества способов выбора билетов для каждого ребенка.

Пример

1. Первый мальчик может выбрать билет из 3 возможных.
2. Второй мальчик может выбрать билет из 2 возможных (осталось два).
3. Третий мальчик может выбрать билет из 1 возможного (остался один).

Следовательно, общее количество способов выстроить комбинации будет равно произведению 3 * 2 * 1 = 6. То есть, у нас будет шесть различных комбинаций подарения билетов каждому мальчику.

Принцип умножения также может использоваться для решения задач о лотереях. Например, предположим, что в лотерее есть 10 цифр от 0 до 9, и вам нужно угадать все цифры в правильном порядке. Какова вероятность выигрыша в этой лотерее?

Пример

1. Для выбора первой цифры у нас есть 10 возможностей.
2. Для выбора второй цифры у нас также есть 10 возможностей (повторный выбор).
3. И так далее, для выбора каждой цифры.

Таким образом, общее количество возможных комбинаций будет равно произведению 10 * 10 * 10 * … * 10 (всего 10 раз), то есть 10 в степени 10. В результате, вероятность выигрыша в этой лотерее будет очень низкой.

Принцип умножения также может применяться в комбинаторных задачах, связанных с организацией расписания или подсчетом комбинаций предметов. Он позволяет вычислять количество возможных способов, в которых предметы или события могут быть упорядочены или комбинированы.

Бинарные комбинаторные задачи: определение и типичные примеры

Рассмотрим несколько типичных примеров бинарных комбинаторных задач:

Пример 1: Девочка в очереди на карусели

Девочка стоит в очереди на карусели и предлагает игру своей подруге: каждый раз, когда будет открытка, девочка подарит ей гвоздик. Открыток будет ровно столько, сколько дней они проведут на карусели. Какое количество гвоздиков будет подарено девочке?

Данная задача связана с выбором одного из двух элементов (открытка или нет) на каждый день пребывания на карусели.

Пример 2: Билеты с номерами

Сколько способов есть у каждого из двух мальчиков выбрать билеты с номерами от 1 до 20 так, чтобы ни у кого из них не было двух билетов с одним номером?

Данная задача связана с выбором без повторений элементов из множества с ограничениями.

Пример 3: Рукопожатия на встрече дипломатов

Какое количество рукопожатий будет на встрече, если каждый дипломат должен пожать руку каждому другому дипломату ровно один раз?

Данная задача связана с формированием всех возможных пар из элементов множества и определением их количества.

Сочетания: понятие и особенности решения

Для того чтобы понять, что такое сочетания, нужно открыть главу 8. Элементы комбинаторики: понятия, примеры и методы и изучить его содержание. В этой главе будут рассмотрены различные аспекты сочетаний, и как правильно их использовать при решении различных задач.

Сочетания можно представить как упорядоченный набор элементов, выбранных из общего множества. Например, если имеется 4 дипломата, а каждому из них нужно поручить выполнение определенной задачи, то сочетания позволяют нам определить, сколькими способами можно это сделать.

Допустим, у нас имеется 4 девочки и 6 мальчиков. Нам нужно определить, сколькими способами девочка и мальчик могут встретиться на карусели с условием, что каждый мальчик может встретиться только с одной девочкой.

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторный метод. Сперва нужно определить количество элементов для выбора, которое равно 4 (девочки), а затем определить количество способов выбрать из этих элементов, равное 6 (мальчиков). Таким образом, общее количество сочетаний будет равно 4 * 6 = 24.

Также важно учитывать различные условия и ограничения в задачах комбинаторики. Например, если у нас есть 8 шифров на открытке-43 и каждому из них нужно подарить гвоздик, то нужно учесть, что каждый гвоздик подарено только одному шифру. Таким образом, для определения количества сочетаний в этом случае нужно использовать формулу для перестановок с повторениями.

Также важно вычислять вероятность нахождения событий при использовании сочетаний. Например, если в лотереи участвует 39 букв, и мы хотим определить, сколько способов выбрать 6 букв, то определение количества сочетаний позволит нам вычислить вероятность выигрыша.

Таким образом, понятие и использование сочетаний является важным инструментом в комбинаторном анализе. Они позволяют решать различные задачи, определять количество сочетаний и вычислять вероятность событий в результате этих сочетаний.

Комбинаторные задачи с ограничениями: анализ и стратегии решения

Рассмотрим пример комбинаторной задачи с ограничениями: девочка и мальчик должны подарить друг другу новогодние подарки. Девочке должны быть подарены 5 кассет с аудиозаписями, каждая кассета имеет разные треки. Мальчику должно быть подарено 4 дипломата, каждый из которых содержит информацию о различных странах. В результате обмена подарками, девочка получила только 3 кассеты, а мальчик – 2 дипломата. Какова вероятность того, что у мальчика окажется какая-то запись с кассеты, подаренной девочкой?

Для решения данной задачи можно использовать комбинаторный подход с применением метода умножения. Исходя из ограничений, можно составить таблицу возможных комбинаций подарков для каждого мальчика и девочки. В таблице получится 5 возможных комбинаций для девочки и 4 для мальчика. Всего возможно 20 комбинаций подарков.

Таким образом, вероятность того, что у мальчика окажется запись с кассеты, подаренной девочкой, равна 2 из 20 или 1 из 10.

Задачи на размещение: определение и практические применения

Практические применения задач на размещение встречаются в различных областях, включая математику, информатику, экономику, логистику и другие. Эти задачи могут быть использованы для моделирования и оптимизации процессов, планирования и управления ресурсами, а также для решения задач коммивояжера, управления складами, расчета вероятности и других.

Пример задачи на размещение

Представим, что у вас есть 8 детских открыток для мальчиков и 6 открыток для девочек. Вы хотите выстроить мальчикам очередь и девочкам очередь, чтобы каждому мальчику и каждой девочке была выдана по одной открытке. Сколько способов существует для этого?

В данной задаче по размещению нам нужно вычислить количество способов выстроить очередь для мальчиков и очередь для девочек так, чтобы каждому мальчику и каждой девочке была выдана по одной открытке. В результате, получается, что каждый мальчик и каждая девочка получают открытку, следовательно, число способов размещения равно произведению количества способов размещения мальчиков и девочек.

Для решения этой задачи можно использовать принцип умножения. У нас есть 8 мальчиков и 6 девочек, поэтому количество способов размещения мальчиков равно 8! (факториал) и количество способов размещения девочек равно 6! (факториал). Таким образом, всего существует 8! * 6! способов выстроить очереди для мальчиков и девочек в данной задаче на размещение.

Задачи на пересечение множеств и их свойства

В комбинаторике задачи на пересечение множеств имеют особую роль. Рассмотрим несколько примеров задач и методов их решения.

1. Задача о детском саде. В детском саду есть 6 мальчиков и 4 девочки. Сколькими способами можно выстроить детей в очередь, если дети должны стоять в порядке возрастания номеров своих мест?

Для решения данной задачи мы можем использовать перестановки. У нас есть 10 детей, которых нужно выстроить в очередь. Из них 6 мальчиков и 4 девочки. Так как мальчиков и девочек можно рассматривать как разные элементы, то число способов будет равно 10!. Но помимо этого, мы еще должны учесть, что мальчики и девочки должны стоять в отдельных группах, и в каждой группе они должны стоять в порядке возрастания номеров своих мест. Поэтому число способов будет равно (6!) × (4!).

2. Задача о встрече мальчиков. На городской карусели ездят 8 мальчиков и 6 девочек. Надежда и Ваня сели на карусель случайно и надеялись встретиться с другом. Какова вероятность того, что они смогут сесть рядом?

Сначала посчитаем общее число способов, которыми мальчики и девочки могут распределиться по карусели. Это число будет равно (8 + 6)! — так как все 14 человек у нас разных. Затем посчитаем количество способов, которые будут удовлетворять условиям задачи. В этом случае Надежда и Ваня должны сесть рядом, то есть они должны занимать два соседних места в ряду из 14. Результатом будет отношение количества способов, удовлетворяющих условию, к общему числу способов: (2!) × (12!) / (14!).

3. Задача о подарках. Учительница Екатерина решила подарить своим детям по предмету в награду за хорошую работу. В ее классе 25 детей, а в ассортименте есть 8 разных предметов. Каждому ребенку можно подарить ровно один предмет. Сколькими способами учительница может подарить предметы своим детям?

Для решения данной задачи мы можем использовать сочетания. У нас есть 25 детей, и нужно выбрать для каждого ребенка по одному предмету из 8 возможных. Количество способов для каждого ребенка будет равно 8. Следовательно, всего количество способов будет равно 8^25.

4. Задача о рецептах. У Ивана есть 3 рецепта, которые готовит самостоятельно. Он начинает с одного из них, затем выбирает второй рецепт, а потом третий. Сколько всего разных комбинаций рецептов может получить Иван?

Для решения данной задачи мы можем использовать принцип умножения. У Ивана есть 3 рецепта, и для каждого рецепта он может выбрать ровно один из трех предложенных. Следовательно, общее количество комбинаций будет равно 3 × 3 × 3 = 27.

Видео:

Элементы комбинаторики | Математика

Элементы комбинаторики | Математика by Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ | Think24 202 views 3 years ago 4 minutes, 37 seconds